Question

13．函数f（x）=log_a（a^x-1）（0＜a＜1）
（1）求f（x）的定义域；            
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）解方程f（2x）=f^-1（x）．

Answer 1

分析 （1）对数函数的真数大于0，根据a的范围解不等式即可．
（2）利用复合函数的单调性证明即可得答案．
（3）求出反函数f^-1（x），在求解方程．

解答 解：（1）由题意：a^x-1＞0，故而：a^x＞a⁰，
∵0＜a＜1，
∴x＜0
故f（x）的定义域为（-∞，0）；        
（2）由（1）可知定义域为（-∞，0），∵0＜a＜1，
∴f（x）=log_au是减函数．
令u=a^x-1，0＜a＜1，
可知u=a^x-1在区间（-∞，0）也是减函数，
由复合函数的单调性可得：
f（x）=log_a（a^x-1）在区间（-∞，0）是增函数，
（3）由题意：f^-1（x）=log_a（a^x+1）
那么：f（2x）=f^-1（x），即log_a（a^2x-1）=log_a（a^x+1）
可得：a^2x-1=a^x+1
化简：（a^x）²-a^x-2=0
因式分解：（a^x+1）（a^x-2）=0
解得：a^x=2，a^x=-1（舍去）
故而方程的解为x=log_a2．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，复合函数的单调性以及反函数的求法和计算能力．难度一般，属于中档题．