Question

9．如图，△PAD与正方形ABCD共用一边AD，平面PAD⊥平面ABCD，其中PA=PD，AB=2，点E是棱PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）若直线PA与平面ABCD所成角为60°，求点A到平面BDE的距离．

Answer 1

分析 （1）连接AC，交BD于O，连接EO，证明PC∥OE，即可证明PC∥平面BDE；
（2）取AD的中点N，连接PN，证明∠PAN为直线PA与平面ABCD所成角，利用等体积方法求点A到平面BDE的距离．

解答 （1）证明：连接AC，交BD于O，连接EO，则
∵ABCD是正方形，
∴O是AC的中点，
∵点E是棱PA的中点，
∴PC∥OE，
∵OE?平面BDE，PC?平面BDE，
∴PC∥平面BDE；
（2）解：取AD的中点N，连接PN，则
∵PA=PD，
∴PN⊥AD，
∵平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PN⊥平面ABCD，
∴∠PAN为直线PA与平面ABCD所成角∴∠PAN=60°∴PA=PD=AD=2，
∵AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥平面PAD，
∴V_B-DAE=$\frac{1}{3}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
Rt△EAB中，EA=1，AB=2，BE=$\sqrt{5}$，
∵$ED=\sqrt{3}$，BD=2$\sqrt{2}$，
∴DE⊥EB，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
设点A到平面BDE的距离为h．则$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}h=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴h=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴点A到平面BDE的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查空间角，考查三棱锥体积的计算，属于中档题．