Question

12．已知在△ABC中，点A（-1，0），B（0，$\sqrt{3}$），C（1，-2）．
（Ⅰ）求边AB上高所在直线的方程；
（Ⅱ）求△ABC的面积S_△ABC．

Answer 1

分析 （I）k_AB=$\sqrt{3}$，可得边AB上高所在直线的斜率为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．利用点斜式即可得出．
（II）直线AB的方程为：y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，利用点到直线的距离公式可得点C到直线AB的距离d，利用△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|d，即可得出．

解答 解：（I）k_AB=$\frac{0-\sqrt{3}}{-1-0}$=$\sqrt{3}$，
∴边AB上高所在直线的斜率为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴边AB上高所在直线的方程为：y+2=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），即$\sqrt{3}$x+3y+6-$\sqrt{3}$=0．
（II）直线AB的方程为：y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，|AB|=$\sqrt{（-1）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2．
点C到直线AB的距离d=$\frac{|\sqrt{3}+2+\sqrt{3}|}{2}$=$\sqrt{3}$+1．
∴△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}×2×（\sqrt{3}+1）$=$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．