Question

曲线C是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，已知它的一个焦点F的坐标为（2，0），一条渐近线的方程为y=

3

x，过焦点F作直线交曲线C的右支与P、Q两点，R是弦PQ的中点．
（1）求曲线C的方程；
（2）当点P在曲线C右支上运动时，求点R到y轴距离的最小值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设双曲线方程，求出渐近线方程，由题意可得c=2，a，b的关系，再由a，b，c的关系式，解得a，b，即可得到双曲线方程；
（2）设出直线PQ的方程，注意斜率不存在的情况，联立双曲线方程，消去y，运用韦达定理和中点坐标公式，求得R的横坐标的关系式，求得范围，即可得到最小值．

解答： 解：（1）设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
渐近线方程为y=±

b

a

x，
则由题意可得，c=2，

b

a

=

3

，
又a²+b²=c²，解得，a=1，b=

3

，
则双曲线的方程为x²-

y2

3

=1；
（2）设过F的直线l为y=k（x-2），或x=2，
当l：x=2，则弦PQ的中点为F，
即有点R到y轴距离为2；
当l：y=k（x-2），联立双曲线方程，可得，
（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（m，n），
且P，Q均在右支上，
则x₁+x₂=

-4k2

3-k2

＞0，x₁x₂=

-4k2-3

3-k2

＞0，
即有k²＞3，
又R为PQ的中点，则2m=

-4k2

3-k2

=4+

12

k2-3

＞4，
即有m＞2，
则点R到y轴距离的最小值为2．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，消去未知数，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题和易错题．