Question

17．如图，在底面为平行四边形的四棱锥O-ABCD中，BC⊥平面OAB，E为OB中点，OA=AD=2AB=2，OB=$\sqrt{5}$．
（1）求证：平面OAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知得OA⊥BC，OA⊥AB，从而OA⊥平面ABCD，由此能证明平面OAD⊥平面ABCD；
（2）以A为坐标原点，分别以AD，AB，AO所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角B-AC-E的余弦值．

解答 证明：（1）∵BC⊥平面OAB，OA?平面OAB，
∴OA⊥BC，
又OA=2AB=2，OB=$\sqrt{5}$，
在△OAB中，OA²+AB²=OB²，
∴OA⊥AB，
∴OA⊥平面ABCD，
又OA?平面OAD，∴平面OAD⊥平面ABCD；
解：（2）由（1）知OA，AB，AD两两垂直，
以A为坐标原点，分别以AD，AB，AO所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），C（2，1，0），O（0，0，2），B（0，1，0），E（0，$\frac{1}{2}$，1），
$\overrightarrow{AC}$=（2，1，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{1}{2}，1$），
设平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，1），
又平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴二面角B-AC-E的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查异南在线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．