Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，PA=PD=AD=2BC=2，CD=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{6}$，Q是AD的中点．
（1）求证：平面PAD⊥底面ABCD；
（2）求三棱锥C-PBD的体积．

Answer 1

分析 （1）连接BQ，由ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD=2BC，Q为AD的中点，得BCDQ为平行四边形从而得到QB，在△PAD求得PQ．由PQ²+QB²=PB²，得PQ⊥BQ．结合线面垂直的判定得PQ⊥平面ABCD，进一步得平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求出△BCD的面积，结合（1）得到PQ⊥平面ABCD，PQ=$\sqrt{3}$，然后利用等积法求得三棱锥C-PBD的体积．

解答 证明：（1）连接BQ，
∵ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD=2BC，Q为AD的中点，
∴BCDQ为平行四边形，
又∵CD=$\sqrt{3}$，
∴QB=$\sqrt{3}$，
∵△PAD是边长为2的正三角形，Q是AD的中点，
∴PQ⊥AD，PQ=$\sqrt{3}$．
在△PQB中，QB=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{6}$，
∴PQ²+QB²=PB²，则PQ⊥BQ．
∵AD∩BQ=Q，AD，BQ?平面ABCD，
∴PQ⊥平面ABCD，又PQ?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD；
解：（2）∵底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，
∴△BCD是直角三角形，其中∠BCD=90°，
∵BC=1，CD=$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}BC•CD=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由（1）知，PQ⊥平面ABCD，PQ=$\sqrt{3}$，
∴${V}_{C-PBD}={V}_{P-BCD}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，体积的运算，考察运算求解能力﹑推理论证能力﹑空间想象能力，是中档题．