Question

8．若不等式$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$+$\frac{λ}{c-a}$＞0对任意a＞b＞c恒成立，则λ的取值范围是（　　）

• A． （-∞，4）
• B． （-∞，4]
• C． （4，+∞）
• D． [4，+∞）

Answer 1

分析 a＞b＞c，可得$\frac{a-c}{a-b}$+$\frac{a-c}{b-c}$=$\frac{（a-b）+（b-c）}{a-b}$+$\frac{（a-b）+（b-c）}{b-c}$=2+$\frac{b-c}{a-b}+\frac{a-b}{b-c}$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a＞b＞c，∴$\frac{a-c}{a-b}$+$\frac{a-c}{b-c}$
=$\frac{（a-b）+（b-c）}{a-b}$+$\frac{（a-b）+（b-c）}{b-c}$
=2+$\frac{b-c}{a-b}+\frac{a-b}{b-c}$≥2+2$\sqrt{\frac{b-c}{a-b}•\frac{a-b}{b-c}}$=4，
∴$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}$≥$\frac{4}{a-c}$，
由于$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$+$\frac{λ}{c-a}$＞0对任意a＞b＞c恒成立，
∴λ＜4．
故选：A．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．