Question

3．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{7}cosα}\\{y=2+\sqrt{7}sinα}\end{array}\right.$（其中α为参数），曲线C₂：（x-1）²+y²=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线θ=$\frac{π}{6}$（ρ＞0）与曲线C₁，C₂分别交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由sin²α+cos²α=1，能求出曲线C₁的普通方程，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C₂的极坐标方程．
（Ⅱ）依题意设A（${ρ}_{1}，\frac{π}{6}$），B（${ρ}_{2}，\frac{π}{6}$），将$θ=\frac{π}{6}$（ρ＞0）代入曲线C₁的极坐标方程，求出ρ₁=3，将$θ=\frac{π}{6}$（ρ＞0）代入曲线C₂的极坐标方程求出${ρ}_{2}=\sqrt{3}$，由此能求出|AB|．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{7}cosα}\\{y=2+\sqrt{7}sinα}\end{array}\right.$（其中α为参数），
∴曲线C₁的普通方程为x²+（y-2）²=7．
∵曲线C₂：（x-1）²+y²=1，
∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x-1）²+y²=1，
得到曲线C₂的极坐标方程（ρcosθ-1）²+（ρsinθ）²=1，
化简，得ρ=2cosθ．
（Ⅱ）依题意设A（${ρ}_{1}，\frac{π}{6}$），B（${ρ}_{2}，\frac{π}{6}$），
∵曲线C₁的极坐标方程为ρ²-4ρsinθ-3=0，
将$θ=\frac{π}{6}$（ρ＞0）代入曲线C₁的极坐标方程，得ρ²-2ρ-3=0，
解得ρ₁=3，
同理，将$θ=\frac{π}{6}$（ρ＞0）代入曲线C₂的极坐标方程，得${ρ}_{2}=\sqrt{3}$，
∴|AB|=|ρ₁-ρ₂|=3-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查考生运算求解能力、考查化归与转化思想、考查分析问题、解决问题能力．