Question

已知函数（为常数，）

（1）若是函数的一个极值点，求的值；

（2）求证：当时，在上是增函数；

（3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求正实数的取值范围.

 

Answer 1

（1）; （2）详见解析；（3）实数的取值范围为.

【解析】

试题分析：（1）求出 ，令即可解得的值；

（2）因为，且，当时，恒成立等价于恒成立，即，只需证明，当时，即可.

（3）时，由（2）知，在上的最大值为

于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立.\

记，利用导数研究函数在上的单调性，求出在上的最小值，解出正实数的取值范围.

试题解析：.【解析】
1分

（1）由已知，得且， 2分

----3分

（2）当时，

4分

当时， 又 5分

故在上是增函数

（3）时，由（2）知，在上的最大值为

于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立.--7分

记

则. 8分

因为 9分

若，可知在区间上递减，在此区间上，有

，与恒成立相矛盾，故，这时， 11分

在上递增，恒有，满足题设要求，

即 13分

实数的取值范围为

考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.