Question

5．以下四个命题：
①若函数y=e^x-mx（x∈R）有大于零的极值点，则实数m＞1；
②若抛物线x²=4y上一点M到焦点的距离为3，则点M到x轴的距离为2；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④已知函数f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a在x=1处取得极大值10，则$\frac{a}{b}$的值为-2或-$\frac{2}{3}$．
其中真命题的序号为①②③（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

分析 ①根据函数极值和导数的关系进行判断．
②根据抛物线的定义进行转化判断．
③根据一元二次方程与椭圆和双曲线的离心率进行判断．
④根据函数极值和导数的关系求出a，b的关系进行判断．

解答 解：①∵y=e^x-mx，∴y'=e^x-m．
若y=e^x-mx（x∈R）有大于零的极值点，则等价为y′=e^x-m=0有大于0的实根，
即m=e^x有大于0的实根，∵x＞0，∴e^x＞1．∴m＞1．故①正确，
②若抛物线x²=4y上一点M到焦点（0，1）的距离为3，则点M到准线y=-1的距离也是3，则x轴的距离为3-1=2；故②正确，
③方程2x²-5x+2=0的两根$\frac{1}{2}$和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故④正确，
④∵f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a，∴f′（x）=3x²+2ax+b，
又f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a在x=1处取得极大值10，
∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b-a²-7a=10，
∴a²+8a+12=0，
∴a=-2，b=1或a=-6，b=9．
当a=-2，b=1时，f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），
当$\frac{1}{3}$＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；
当a=-6，b=9时，f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
当x＜1时，f′（x）＞0，当＜x＜3时，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；
则$\frac{a}{b}$=-$\frac{6}{9}=-\frac{2}{3}$，故④错误，
故正确的是①②③，
故答案为：①②③

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的极值和导数的关系，椭圆，双曲线和抛物线的定义和性质，涉及的知识点较多，综合性较强，有一定的难度．