Question

以下四个关于圆锥曲线的命题中，其中真命题的个数为（　　）
①设A、B为两个定点，k为正常数，|

PA

|+|

PB

|=k，则动点P的轨迹为椭圆；
②双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y²=1有相同的焦点；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④点P到直线3x+4y-15=0的距离与到点（1，3）的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：令|

PA

|+|

PB

|=k=|

AB

|，动点P的轨迹为线段AB，可判断①； 求出椭圆和双曲线的焦点坐标可判断②；解得方程的两根，根据椭圆和双曲线的离心率范围，可判断③；根据抛物线的定义，可判断④．

解答： 解：对于①，设A、B为两个定点，k为正常数，|

PA

|+|

PB

|=k=|

AB

|，则动点P的轨迹为线段，故错误；
对于②，双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y²=1的焦点坐标均为（±

34

，0），故正确；
对于③，方程2x²-5x+2=0的两根为

1

2

和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故正确；
对于④，点P到直线3x+4y-15=0的距离与到点（1，3）的距离相等，则点P的轨迹是抛物线，故正确．
故真命题的个数为3个，
故选：C

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了圆锥曲线的定义和性质，难度不大，属于基础题．