Question

1-90C₁₀¹+90²C₁₀²-90³C₁₀³+…+（-1）^k90^kC₁₀^k+…+90¹⁰C₁₀¹⁰除以88的余数是（ ）
A．-87
B．87
C．-1
D．1

Answer 1

【答案】分析：利用二项式定理的展开式将展开式转化为二项式形式，将二项式中的底数写出用88为一项的和形式，再利用二项式定理展开，即得到余数．
解答：解：1-90C₁₀¹+90²C₁₀²-90³C₁₀³+…+（-1）^k90^kC₁₀^k+…+90¹⁰C₁₀¹⁰
=（1-90）¹⁰
=89¹⁰
=（1+88）¹⁰
=C₁₀+C₁₀¹88+…+C₁₀⁹×88⁹+C₁₀¹⁰88¹⁰
=1+C₁₀¹88+…+C₁₀⁹×88⁹+C₁₀¹⁰88¹⁰
所以除以88的余数为1
故选D
点评：解决一个幂除以某数的余数问题，应该先将幂的底数写出用除数与另一个数的和的形式，再利用二项式定理展开即可得到余数．