Question

16．求函数f（x）=3-2asinx-cos²x，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]的最小值．

Answer 1

分析 f（x）解析式可化为：f（x）═（sinx-a）²+2-a²，sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得不同情况下，函数的最小值．

解答 解：∵f（x）=3-2asinx-cos²x=sin²x-2asinx+2=（sinx-a）²+2-a²，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴a＜-$\frac{1}{2}$时，当sinx=-$\frac{1}{2}$时，函数f（x）取最小值a+$\frac{9}{4}$；
-$\frac{1}{2}$≤a≤1时，当sinx=a时，函数f（x）取最小值2-a²；
a＞1时，当sinx=1时，函数f（x）取最小值3-2a；
综上可知：$f（x）_{min}=\left\{\begin{array}{l}a+\frac{9}{4}，a＜-\frac{1}{2}\\-{a}^{2}+2，-\frac{1}{2}≤a≤1\\-2a+3，a＞1\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，三角函数的求值，难度中档．