Question

4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a+c=16．其外接圆的直径为12，且b+24cosB=24，则△ABC面积的最大值为$\frac{128}{5}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理及条件b+24cosB=24，可得2（1-cosB）=sinB，再利用平方关系，从而可求得cosB，进而可求sinB，a+c=16，利用面积公式表示面积，借助于基本不等式可求△ABC的面积的最大值．

解答 解：∵外接圆的直径为12，b+24cosB=24，可得：24=$\frac{b}{1-cosB}$=$\frac{12sinB}{1-cosB}$，
∴2（1-cosB）=sinB，…（3分）
∴4（1-cosB）²=sin²B=（1-cosB）（1+cosB），
∵1-cosB≠0，
∴4（1-cosB）=1+cosB，
∴cosB=$\frac{3}{5}$，（6分）
∴sinB=$\frac{4}{5}$．（8分）
∵a+c=16．
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{2}{5}$ac≤$\frac{2}{5}$（$\frac{a+c}{2}$）²=$\frac{128}{5}$．（10分）
当且仅当a=c=8时，S_max=$\frac{128}{5}$．
故答案为：$\frac{128}{5}$．（12分）

点评 本题以三角形为载体，考查正弦定理的运用，考查基本不等式，关键是边角之间的互化，属于中档题．