Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P是椭圆C上任意一点，|PF₁|+|PF₂|=4，长轴长是短轴长的两倍．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线y=kx+m交椭圆C于A、B两点，记△AOB的面积为S，直线OA、OB的斜率分别为k₁、k₂，若k₁、k、k₂依次成等比数列且S≥

6

3

，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由点P是椭圆C上任意一点，||PF₁|+|PF₂|=4，长轴长是短轴长的两倍．可得2a=4，a=2b，解得a，b即可．

解答： 解：（1）∵点P是椭圆C上任意一点，||PF₁|+|PF₂|=4，长轴长是短轴长的两倍．
∴2a=4，a=2b，解得a=2，b=1．
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+y2=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=kx+m x2+4y2=4

，化为（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0，化为1+4k²＞m²．（*）
∴x₁+x₂=

-8km

1+4k2

，x₁x₂=

4m2-4

1+4k2

．
∵k₁、k、k₂依次成等比数列，
∴k²=k₁k₂=

y1y2

x1x2

=

(kx1+m)(kx2+m)

x1x2

=k²+

km(x1+x2)+m2

x1x2

，
化为k2=

4-3m2

4m2

，
|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k2m2 (1+4k2)2 - 4(4m2-4) 1+4k2 ]

=4

(1+k2)(1+4k2-m2) (1+4k2)2

=
原点O到直线AB的距离d=

|m|

1+k2

．
∴S=

1

2

•d•|AB|=2|m|

1+4k2-m2 (1+4k2)2

=

m4(4-m4-2m2) 4-4m2+m4

=

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式公式、三角形的面积计算公式、向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．