Question

6．一次研究性学习有“整理数据”、“撰写报告”两项任务，两项任务无先后顺序，每项任务的完成相互独立，互不影响．某班研究性学习有甲、乙两个小组．根据以往资料统计，甲小组完成研究性学习两项任务的概率都为$\frac{1}{2}$，乙小组完成研究性学习两项任务的概率都为q．若在一次研究性学习中，两个小组完成任务项数相等，而且两个小组完成任务数都不少于一项，则称该班为“和谐研究班”．
（Ⅰ）若q=$\frac{2}{3}$，求在一次研究性学习中，已知甲小组完成两项任务的条件下，该班荣获“和谐研究班”的概率；
（Ⅱ）设在完成4次研究性学习中该班获得“和谐研究班”的次数为ξ，若ξ的数学期望Eξ≥1，求q的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“甲小组完成两项任务”为事件A，“该班荣获和谐研究班”为事件B，由此利用条件概率计算公式能求出甲小组完成两项任务的条件下，该班荣获“和谐研究班”的概率．
（Ⅱ）求出突击队在一次任务中荣获“和谐研究班”的概率为q-$\frac{3}{4}{q}^{2}$，ξ～B（4，p），由此能求出q的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设“甲小组完成两项任务”为事件A，“该班荣获和谐研究班”为事件B，
∴P（A）=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
P（AB）=（$\frac{1}{2}$）²•（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{1}{9}$，
∴P（B|A）=$\frac{P（AB）}{P（A）}$=$\frac{4}{9}$．
∴甲小组完成两项任务的条件下，该班荣获“和谐研究班”的概率为$\frac{4}{9}$．
（Ⅱ）甲小组在一次任务中荣获“和谐研究班”的概率为：
P=（${C}_{2}^{1}•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}$）[${C}_{2}^{1}q（1-q）$]+（$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}$）q²=q-$\frac{3}{4}{q}^{2}$，
而ξ～B（4，p），∴E（ξ）=4p，
由Eξ≥1，知（q-$\frac{3}{4}$q²）×4≥1，
解得$\frac{1}{3}≤q≤1$，
∴$\frac{1}{3}≤q≤1$．
∴q的取值范围是[$\frac{1}{3}$，1]．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要注意二项分布的性质的合理运用．