Question

4．如图，直四棱拄ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，2AB=CD，侧面AA₁D₁D和侧面CC₁D₁D是正方形，M是侧面CC₁D₁D的中心．
（Ⅰ）证明：AM∥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求平面MAB₁与平面A₁B₁C₁D₁所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D₁为原点，D₁A₁为x轴，D₁D为y轴，D₁C₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AM∥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）求出平面MAB₁的法向量和平面A₁B₁C₁D₁的法向量，利用向量法能求出平面MAB₁与平面A₁B₁C₁D₁所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）以D₁为原点，D₁A₁为x轴，D₁D为y轴，D₁C₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=1，则A（2，2，0），
M（0，1，1），B₁（2，0，1），
B（2，2，1），C（0，2，2），
$\overrightarrow{AM}$=（-2，-1，1），$\overrightarrow{{B}_{1}B}$=（0，2，0），$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，1），
设平面BB₁C₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}B}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2x+z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，2），
$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}$=-2+0+2=0，
∵AM?平面BB₁C₁C，
∴AM∥平面BB₁C₁C．
解：（Ⅱ）$\overrightarrow{AM}$=（-2，-1，1），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，-2，1），
设平面MAB₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=-2a-b+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-2b+c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{1}{2}$，1，2），
平面A₁B₁C₁D₁的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，1，0），
设平面MAB₁与平面A₁B₁C₁D₁所成锐二面角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{21}{4}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{21}$．
∴平面MAB₁与平面A₁B₁C₁D₁所成锐二面角的余弦值为$\frac{2\sqrt{21}}{21}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．