Question

已知双曲线H：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）一个顶点为（2，0），且H的离心率e=

5

2

．
（1）求H的方程；
（2）过原点的直线l与H相交于A、B两点（点A在第一象限），过A作AC垂直于x轴，垂足为C．连接BC与H交于点D，记直线AB，AD的斜率分别为k₁、k₂．求证：k₁+k₂＞

3

2

．

Answer 1

分析：（1）由顶点为（2，0），可得a=2；由双曲线的离心率计算公式e=

c

a

=

5

2

，即可得到c，再利用b²=c²-a²即可得到b，进而得到方程．
（2）设A（m，n），由题意可知A、B两点关于原点对称，可得B（-m，-n），C（m，0），得到BC的方程为x=

2m

n

y+m．由A在双曲线上，可得

m2

4

-n2=1，即m²=4（n²+1）．
把BC的方程x=

2m

n

y+m代入双曲线方程，整理可得（3n²+4）y²+（4n³+4n）y+n⁴=0，利用根与系数的关系即可得到y_D，从而得到x_D，即可得到直线AD的斜率k₂，利用放缩法即可证明结论．

解答：（1）解：由题意，a=2
∵H的离心率e=

5

2

，∴

4+b2

4

=

5

4

，∴b=1
∴H的方程为

x2

4

-y2=1；
（2）证明：设A（m，n），由题意可知A、B两点关于原点对称，
∴B（-m，-n），C（m，0），∴BC的方程为x=

2m

n

y+m．（*）
∵A在双曲线上，∴

m2

4

-n2=1，∴m²=4（n²+1）．
把BC的方程x=

2m

n

y+m代入双曲线方程，整理可得（3n²+4）y²+（4n³+4n）y+n⁴=0，
∴yByD=

n4

3n2+4

，而y_B=-n，
∴yD=

-n3

3n2+4

，代入（*）可得xD=

mn2+4m

3n2+4

．∴D(

mn2+4m

3n2+4

，

-n3

3n2+4

)．
∴k2=

n+ n3 3n2+4

m- mn2+4m 3n2+4

=

2n2+2

mn

．
∴k₁+k₂=

n

m

+

2n2+2

mn

=

3n2+2

mn

=

(3n2+2)2 m2n2

=

9n4+12n2+4 4n2(n2+1)

＞

9(n4+n2) 4(n4+n2)

=

3

2

．证毕

点评：本题重点考查双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线的位置关系，解题的关键是直线与双曲线方程的联立得到根与系数的关系，利用坐标表示斜率及恰当使用放缩法．