Question

12．在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=\sqrt{3}sinα\end{array}$（α为参数），在极坐标系中，点M的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{3}{4}$π）．
（I）写出曲线C的普通方程并判断点M与曲线C的位置关系；
（Ⅱ）设直线l过点M且与曲线C交于A、B两点，若|AB|=2|MB|，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）利用同角三角函数的关系消参数得出曲线C的普通方程，将M点坐标代入曲线C的方程即可判断点M与曲线C的位置关系；
（II）由|AB|=2|MB|，可知M为AB的中点，将直线l的参数方程代入曲线的方程则方程有两个互为相反数的实根，根据根与系数的关系求出l的斜率，得出l方程．

解答 解：（I）由$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=\sqrt{3}sinα\end{array}\right.$（α为参数）消α得：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
将$M（\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$化成直角坐标得M（-1，1），∵$\frac{{{{（-1）}^2}}}{4}+$$\frac{1^2}{3}=\frac{7}{12}＜1$，
故点M在曲线C内．
（Ⅱ）设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α为l的倾斜角）．
代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$得：（3+sin²α）t²+（8sinα-6cosα）t-5=0．
∵|AB|=2|MB|，∴M为AB的中点，即t₁+t₂=0．
∴8sinα-6cosα=0，∴tanα=$\frac{3}{4}$．
∴l的方程为：$y-1=\frac{3}{4}（x+1）$，即3x-4y+7=0．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，参数的几何意义，属于中档题．