Question

3．定义在R上的函数f（x）满足：f（-1）=4，f′（x）＜1-f（x），f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e^x+1f（x）＞e^x+1+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（-∞，-1）．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=e^x+1f（x）-e^x+1，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．

解答 解：设g（x）=e^x+1f（x）-e^x+1，（x∈R），
则g′（x）=e^x+1f（x）+e^x+1f′（x）-e^x+1=e^x+1[f（x）+f′（x）-1]，
∵f′（x）＜1-f（x），
∴f（x）+f′（x）-1＜0，
∴g′（x）＜0，
∴y=g（x）在定义域上单调递减，
∵e^x+1f（x）＞e^x+1+3，
∴g（x）＞3，
又∵g（-1）=e⁰f（-1）-e⁰=4-1=3，
∴g（x）＞g（-1），
∴x＜-1，
∴不等式的解集为（-∞，-1）
故答案为：（-∞，-1）．

点评 本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．