Question

20．设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，其中向量$\overrightarrow{m}$=（2，2cosx），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sin2x，2cosx），x∈R．
（1）求f（x）的最大值与最小正周期；
（2）已知g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称，求g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 由已知条件结合平面向量的坐标运算可得f（x），再由辅助角公式化积．
（1）由函数解析式求得f（x）的最大值与最小正周期；
（2）由g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称求得g（x）的解析式，再由x的范围求得相位的范围，则g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域可求．

解答 解：由$\overrightarrow{m}$=（2，2cosx），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sin2x，2cosx），得
f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$2\sqrt{3}sin2x+4co{s}^{2}x$=$2\sqrt{3}sin2x+4×\frac{1+cos2x}{2}$
=$2\sqrt{3}sin2x+2cos2x+2$=$4sin（2x+\frac{π}{6}）+2$．
（1）f（x）的最大值为6，最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）∵g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称，
∴g（x）=f（$\frac{π}{2}-x$）=$4sin（π-2x+\frac{π}{6}）+2$=$4sin（2x-\frac{π}{6}）+2$．
∵0$≤x≤\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，则g（x）∈[0，6]．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查三角函数的图象变换，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．