Question

9．定义D上函数f（x）满足：如果对任意x₁，x₂∈D，都有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≥$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，则称f（x）是D上的凸函数．
（1）判断函数y=$\sqrt{x}$是否为凸函数？为什么？
（2）若函数f（x）=log_ax在（0，+∞）上是凸函数，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当x∈（0，1]时，不等式f（mx²+x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数y=$\sqrt{x}$是凸函数．运用分析法，设x₁，x₂∈[0，+∞），由新定义即可得到结论；
（2）由凸函数的定义，结合对数函数和基本不等式即可得到a＞1；
（3）由题意可得0＜mx²+x≤1，运用参数分离可得-$\frac{1}{x}$＜m≤$\frac{1-x}{{x}^{2}}$在x∈（0，1]恒成立，分别求得左右两边的最值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）函数y=$\sqrt{x}$是凸函数．
理由是设x₁，x₂∈[0，+∞），$\sqrt{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$≥$\frac{1}{2}$（$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$），即为：
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$≥$\frac{1}{4}$（x₁+x₂+2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$），
即为x₁+x₂≥2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，由均值不等式可得显然成立；
（2）函数f（x）=log_ax在（0，+∞）上是凸函数，可得：
log_a$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$≥$\frac{1}{2}$（log_ax₁+log_ax₂）=log_a$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$
由x₁+x₂≥2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，可得a＞1；
（3）当x∈（0，1]时，不等式f（mx²+x）≤0恒成立，即为：
log_a（mx²+x）≤0，即有0＜mx²+x≤1，
可得-$\frac{1}{x}$＜m≤$\frac{1-x}{{x}^{2}}$在x∈（0，1]恒成立，
由-$\frac{1}{x}$∈（-∞，-1]，可得m＞-1；
由$\frac{1-x}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{x}$≥1时，可得$\frac{1-x}{{x}^{2}}$≥0，
可得m≤0．
可得-1＜m≤0．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查对数函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．