Question

7．如图为某市2017年2月28天的日空气质量指数折线图．

由中国空气质量在线监测分析平台提供的空气质量指数标准如下：

空气质量指数	（0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，300]	300以上
空气质量等级	1级优	2级良	3级轻度污染	4级中度污染	5级重度污染	6级严重污染

（Ⅰ）请根据所给的折线图补全下方的频率分布直方图（并用铅笔涂黑矩形区域），并估算该市2月份空气质量指数监测数据的平均数（保留小数点后一位）；

（Ⅱ）研究人员发现，空气质量指数测评中PM2.5与燃烧排放的CO两个项目存在线性相关关系，以100ug/m³为单位，如表给出PM2.5与CO的相关数据：

CO（x）	0.5	1	1.5
PM2.5（y）	1	2	4

求y关于x的回归方程，并估计当CO排放量是200ug/m³时，PM2.5的值．
（用最小二乘法求回归方程的系数是$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n•\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n•{{\overline x}^2}}}}$$，\hat a=\overline y-\hat b\overline x$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由折线图知空气质量指数对应的频数求出各小矩形的高，补全频率分布直方图，由此求出空气质量指数监测数据的平均数值；
（Ⅱ）根据表中数据计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归方程的系数，写出回归方程，利用回归方程计算x=2时$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（Ⅰ）由折线图知空气质量指数分别为（0，50]，（50，100]，
（100，150]，（150，200]的频数分别为2，16，8，2，
∴各组对应的频率分布为$\frac{1}{14}$，$\frac{4}{7}$，$\frac{2}{7}$，$\frac{1}{14}$；
∴各小矩形的高分别为$\frac{1}{700}$，$\frac{8}{700}$，$\frac{4}{700}$，$\frac{1}{700}$；
补全频率分布直方图，如图所示：

利用频率分布直方图，计算空气质量指数监测数据的平均数值为：
$\frac{1}{14}$×25+$\frac{4}{7}$×75+$\frac{2}{7}$×125+$\frac{1}{14}$×175≈92.9；
（Ⅱ）根据表中数据，计算
$\overline{x}$=$\frac{1}{3}$×（0.5+1+1.5）=1，
$\overline{y}$=$\frac{1}{3}$×（1+2+4）=$\frac{7}{3}$，
$\sum_{i=1}^{3}$x_iy_i=0.5+2+6=8.5，
$\sum_{i=1}^{3}$${{x}_{i}}^{2}$=0.25+1+2.25=3.5，
∴回归方程的系数为
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n•\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n•{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{8.5-3×1×\frac{7}{3}}{3.5-3{×1}^{2}}$=3，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=$\frac{7}{3}$-3×1=-$\frac{2}{3}$，
∴y关于x的回归方程是$\stackrel{∧}{y}$=3x-$\frac{2}{3}$，
∴x=2时，$\stackrel{∧}{y}$=3×2-$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{3}$；
即估计当CO排放量是200ug/m³时，PM2.5的值为$\frac{16}{3}$×100ug/m³．

点评 本题考查了频率分布直方图、折线图以及回归直线方程的求法与应用问题，是中档题．