Question

19．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=$\sqrt{2}$，BC=AA₁=1，点M在AB₁的中点，点P为对角线AC₁上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（P，Q可以重合），则MP+PQ的最小值是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 画出图形，利用折叠与展开法则同一个平面，转化折线段为直线段距离最小，转化求解MP+PQ的最小值．

解答 解：由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC₁与三角形AB₁C₁，在同一个平面上，
如图，易知∠B₁AC₁=∠C₁AC=30°，AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可知MQ⊥AC时，MP+PQ的最小，最小值为：$\frac{\sqrt{3}}{2}sin60°$=$\frac{3}{4}$．
故答案为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查最小值的求解，考查空间想象能力以及学生的计算能力，难度比较大．