Question

已知函数f（x）=x³+ax²-2x+5，求证：当

5

2

≤a≤

23

4

时，f（x）在（-2，

1

6

）上单调递减．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：证明题,导数的概念及应用

分析：求导数，利用导数的正负，确定函数的单调性即可．

解答： 证明：∵f（x）=x³+ax²-2x+5，
∴f′（x）=3x²+2ax-2，
若f（x）在（-2，

1

6

）上单调递减，则f′（-2）≤0，f′（

1

6

）≤0，
∴12-4a-2≤0，

1

12

+

a

3

-2≤0，
∴

5

2

≤a≤

23

4

，
即当

5

2

≤a≤

23

4

时，f（x）在（-2，

1

6

）上单调递减．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生解不等式的能力，属于中档题．