Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示：抛物线y=ax²-ax-2经过点B．
（1）求点B的坐标及a的值；
（2）在x轴下方的抛物线上有一动点M，其横坐标为m，△ABM的面积为S，求S关于m的关系是，并写出自变量m的取值范围
（3）在抛物线上是否存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设B（x，y），（y＞0），利用等腰直角三角形的性质可得：AC⊥BC，|BC|=|AC|，可得

AC

•

BC

=0，

(x-1)2+y2

=

12+22

，联立解出即可．
（2）设M（m，n），代入抛物线方程可得n=

1

2

m2-

1

2

m-2，可得M(m，

1

2

m2-

1

2

m-2)．直线AB的方程为：y=

1-2

3

x+2，化为x+3y-6=0，求出点M到直线AB的距离d．|AB|=

10

．利用S=

1

2

|AB|•d=，即可得出，由n=

1

2

m2-

1

2

m-2＜0，即可得出m的取值范围．
（3）①点B（3，1）关于点C（1，0）的中心对称点为（-1，-1），验证此点是否满足抛物线的方程即可．
②过点A（0，2）与直线AC垂直的直线方程为：y=

1

2

x+2，代入抛物线方程可得：x²-2x-8=0，解得E

x=-2 y=1

，或F

x=4 y=4

，验证|AE|或|AF|是否等于

5

=|AC|即可．

解答： 解：（1）设B（x，y），（y＞0），
∵AC⊥BC，|BC|=|AC|，
∴

AC

•

BC

=（1，-2）•（1-x，-y）=1-x+2y=0，

(x-1)2+y2

=

12+22

，
化简联立

2y=x-1 (x-1)2+y2=5

，解得

x=3 y=1

．
∴B（3，1），代入抛物线方程y=ax²-ax-2，
可得1=9a-3a-2，解得a=

1

2

．
∴B（3，1），a=

1

2

．
（2）由（1）可得抛物线方程为：y=

1

2

x2-

1

2

x-2，
令y=

1

2

x2-

1

2

x-2＜0，
解得

1- 17

2

＜x＜

1+ 17

2

．
∴m∈(

1- 17

2

，

1+ 17

2

)．
设M（m，n），代入抛物线方程可得n=

1

2

m2-

1

2

m-2，
∴M(m，

1

2

m2-

1

2

m-2)．
直线AB的方程为：y=

1-2

3

x+2，化为x+3y-6=0，
∴点M到直线AB的距离d=

|m+ 3 2 m2- 3 2 m-12|

10

=

|3m2-m-24|

2 10

．
|AB|=

32+12

=

10

．
∴S=

1

2

|AB|•d=

|3m2-m-24|

4

，m∈(

1- 17

2

，

1+ 17

2

)．
（3）①点B（3，1）关于点C（1，0）的中心对称点为（-1，-1），
把x=-1代入 抛物线方程的右边：可得

1

2

×(-1)2-

1

2

×(-1)-2=-1，
∴点（-1，-1）在抛物线上，满足使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形．
②过点A（0，2）与直线AC垂直的直线方程为：y=

1

2

x+2，
代入抛物线方程可得：x²-2x-8=0，
解得E

x=-2 y=1

，或F

x=4 y=4

，
|AE|=

22+12

=

5

=|AC|，满足条件；
|AF|=

42+22

=2

10

≠

5

=|AC|，不满足条件．
综上可得：因此在抛物线上存在点P（-1，-1）或（-2，1）（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形，只有这两个．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、数量积运算性质、直线与抛物线相交转化为方程联立可得交点坐标、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．