Question

某个体经营者把开始6个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表：

投资A种商品金额（万元）	1	2	3	4	5	6
获纯利润（万元）	0.65	1.39	1.85	2	1.84	1.4
投资B种商品金额（万元）	1	2	3	4	5	6
获纯利润（万元）	0.25	0.49	0.76	1	1.26	1.51

该经营者准备第7个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第7个月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效数字）．

Answer 1

解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示．

观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟．
由于（4，2）为最高点，则可设y=a（x-4）²+2，再把点（1，0.65）代入，得0.65=a（1-4）²+2，
解得a=-0.15，所以y=-0.15（x-4）²+2．
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是纯性的，可以用一次函数模型进行模拟．
设y=kx+b，取点（1，0.25）和（4，1）代入，
得，解得
所以y=0.25x．
设第7个月投入A，B两种商品的资金分别为x_A万元，x_B万元，总利润为ω万元，那么
所以ω=-0.15（x_A-4）²+2+0.25（12-x_A）=-0.15x+0.95x_A+2.6
=-0.15（x_A-）²+0.15•（）²+2.6．
当x_A=≈3.2（万元）时，ω取最大值，约为4.1万元，此时x_B=8.8（万元）．
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元．
分析：根据表格数据，画出散点图，从而求出函数模型，再设第7个月投入A，B两种商品的资金分别为x_A万元，x_B万元，总利润为ω万元，求出利润函数，利用配方法，即可得到结论．
点评：本题考查函数模型的选择与运用，考查配方法的运用．根据已知数据建立数学模型的方法：①画出散点图；②根据点的分布特征选择适当的函数模型；③用待定系数法求函数模型．