Question

已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0＜α＜β＜π．

(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；

(2)若ka＋b与a－kb的长度相等，求β－α的值(k为非零的常数)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由题意得：a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ) 　　a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)　3分 　　∴(a＋b)·(a－b)＝(cosα＋cosβ)(cosα－cosβ)＋(sinα＋sinβ)(sinα－sinβ) 　　＝cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝1－1＝0 　　∴a＋b与a－b互相垂直．　6分 　　(2)方法一：ka＋b＝(kcosα＋cosβ，ksinα＋sinβ)， 　　a－kb＝(cosα－kcosβ，sinα－ksinβ)　8分 　　|ka＋b|＝，|a－kb|＝　9分 　　由题意，得4cos(β－α)＝0，因为0＜α＜β＜π，所以β－α＝．　12分 　　方法二：由|ka＋b|＝|a－kb|得：|ka＋b|2＝|a－kb|2 　　即(ka＋b)2＝(a－kb)2，k2|a|2＋2ka·b＋|b|2＝|a|2－2ka·b＋k2|b|2　8分 　　由于|a|＝1，|b|＝1 　　∴k2＋2ka·b＋1＝1－2ka·b＋k2，故a·b＝0， 　　即(cos，sin)·(cos，sin)＝0　10分 　　Þ 　 　　因为0＜α＜β＜π，所以β－α＝．　12分