Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左右焦点分别为F₁，F₂，则在椭圆C上满足∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$的点P的个数有（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2 个
• D． 4个

Answer 1

分析 由椭圆的标准方程，求得焦点坐标，则P坐标为（m，n），求得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-2$\sqrt{3}$-m，-n），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（2$\sqrt{3}$-m，-n），由题意可知$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，根据向量数量积的坐标表示，求得n²=12-m²，将P代入椭圆方程，求得m²+4n²=16，即可求得m和n的值，即可求得P点的个数．

解答 解：设椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的点P坐标为P（m，n）
由a=4，b=2，c=2$\sqrt{3}$，
可得焦点分别为F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F₂（-2$\sqrt{3}$，0）
由此可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-2$\sqrt{3}$-m，-n），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（2$\sqrt{3}$-m，-n），
由∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，即$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
得（-2$\sqrt{3}$-m）（2$\sqrt{3}$-m）+n²=0，n²=12-m²，
又∵点P（m，n）在椭圆C上，即$\frac{{m}^{2}}{16}+\frac{{n}^{2}}{4}=1$
化简得：m²+4n²=16，代入求得n²=$\frac{4}{3}$，m²=$\frac{32}{3}$，
∴n=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，m=±$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
故这样的点由4个，
故选D．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．