Question

7．如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方，经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，∠MPN=$\frac{π}{4}$，记∠EPM=θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S平方米．
（1）求S关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围：（参考数据：tan$\frac{5}{4}$≈3）
2）求S的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，求出PM，PN，即可求S关于θ的函数关系式，M与E重合时，θ=0，N与D重合时，tan∠APD=3，即θ=$\frac{3π}{4}-\frac{5}{4}$，即可写出θ的取值范围；
（2）当2θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$即$θ=\frac{π}{8}$时，S取得最小值．

解答 解：（1）在△PME中，∠EPM=θ，PE=4m，∠PEM=$\frac{π}{4}$，∠PME=$\frac{3π}{4}-θ$，
由正弦定理可得PM=$\frac{PEsin∠PEM}{sin∠PME}$=$\frac{4}{sinθ+cosθ}$，
同理，在△PNE中，PN=$\frac{2\sqrt{2}}{cosθ}$，
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}PM•PN•sin∠MPN$=$\frac{4}{co{s}^{2}θ+sinθcosθ}$=$\frac{8}{\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）+1}$，
M与E重合时，θ=0，N与D重合时，tan∠APD=3，即θ=$\frac{3π}{4}-\frac{5}{4}$，
∴0≤θ≤$\frac{3π}{4}-\frac{5}{4}$，
综上所述，S_△PMN=$\frac{8}{\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）+1}$，0≤θ≤$\frac{3π}{4}-\frac{5}{4}$；
（2）当2θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$即$θ=\frac{π}{8}$时，S取得最小值$\frac{8}{\sqrt{2}+1}$=8（$\sqrt{2}$-1）平方米．

点评 本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查三角函数知识的运用，属于中档题．