Question

1．已知a＞0，函数f（x）=x|x-a|．
（1）当a=2时，写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）求函数y=f（x）在区间[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）问将a=2代入函数解析式，并将解析式化简，结合二次函数的性质，确定出函数的单调增区间．
（2）先化简函数解析式，之后判断出函数在相应区间上的单调性，从而结合a的取值范围，分析函数在区间[0，2]上的最大值在哪个点处取得，再求得对应的边界值，最后将函数的最大值表示为关于a的分段函数．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}-1，x≥2}\\{-（x-1）^{2}+1，x＜2}\end{array}\right.$，
由二次函数的性质可知，函数的增区间为（-∞，1]，或[2，+∞）．
（2）∵a＞0，∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}，x≥a}\\{-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}，x＜a}\end{array}\right.$，
可知：函数f（x）在$（-∞，\frac{a}{2}]$单调递增，在$[\frac{a}{2}，a]$单调递减，在[a，+∞）上单调递增．
∴当$\frac{a}{2}$≥2即a≥4时，f_max（x）=f（2）=2a-4．
当$0＜a≤4（\sqrt{2}-1）$时，f_max（x）=f（2）=4-2a．
当$4（\sqrt{2}-1）$＜a＜4时，f_max（x）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的单调性、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．