Question

16．己知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3
（1）求f（x）的解析式；
（2）若当x∈[-3，-1]时，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=f（2）=3设出二次函数，利用二次函数f（x）的最小值为1，列出方程求解即可．
（2）当x∈[-3，-1]时，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，得到不等式，分离变量，利用二次函数的最值求解即可．

解答 解：（1）设f（x）=a（x-0）（x-2）+3，
则f（x）=ax²-2ax+3，二次函数f（x）的最小值为1，
∴$\frac{12a-4{a}^{2}}{4a}=3-a$=1，∴a=2，∴f（x）=2x²-4x+3．----------（6分）
（2）x∈[-3，-1]时，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，
可得2x²-4x+3＞2x+2m+1恒成立，
即m＜x²-3x+1在x∈[-3，-1]时恒成立．
所以m＜（x²-3x+1）_min=f（-1）=5
即m＜5．---------------------------（12分）

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，解析式的求法，函数恒成立的应用，考查转化思想以及计算能力．