Question

12．设函数f（x）=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{x}$（x＞0），数列{a_n}满足a₁=1，a_n=f（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），n∈N^*，且n≥2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对n∈N^*，设S_n=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，若S_n≤3t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据解析式化简a_n=f（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），由等差数列的定义证明{a_n}是等差数列，由通项公式求出a_n；
（2）由（1）求出$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$并化简，利用裂项相消法求出S_n，代入S_n≤3t化简，利用分离常数法和恒成立问题，求出实数t的取值范围．

解答 解：（1）由题意知，f（x）=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{x}$（x＞0），
∴a_n=f（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$）=$\frac{2}{3}+{a}_{n-1}$，则a_n-a_n-1=$\frac{2}{3}$，n∈N^*，n≥2，
∴数列{a_n}是以$\frac{2}{3}$公差的等差数列，
又a₁=1，所以a_n=1+（n-1）×$\frac{2}{3}$=$\frac{2n+1}{3}$，n∈N^*；
（2）由（1）得a_n=$\frac{2n+1}{3}$，则a_n+1=$\frac{2n+3}{3}$，
所以$\frac{1}{anan+1}$=$\frac{9}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$），
∴S_n=$\frac{1}{a1a2}$+$\frac{1}{a2a3}$+$\frac{1}{a3a4}$+…+$\frac{1}{anan+1}$
=$\frac{9}{2}$[（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$）]
=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{3n}{2n+3}$，n∈N^*，
∵S_n≤3t恒成立，∴t≥$\frac{n}{2n+3}$恒成立，
∵$\frac{n}{2n+3}$=$\frac{\frac{1}{2}（2n+3）-\frac{3}{2}}{2n+3}$=$\frac{1}{2}-\frac{3}{2（2n+3）}$＜$\frac{1}{2}$，
∴$t≥\frac{1}{2}$，即实数t的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了等差数列的定义、通项公式，裂项相消法求数列的前n项和，以及恒成立问题的转化，分离常数法的应用，考查化简、变形能力．