Question

8．已知函数f（x）=$\sqrt{lo{g}_{2}（x-1）}$的定义域为集合A，函数g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x（-1≤x≤0）的值域为集合B．
（1）求A∩B；
（2）若集合C=[a，2a-1]，且C∪B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）A是函数的定义域，只要解不等式log₂（x-1）≥0即得，B是函数的值域，由指数函数的单调性可得；
（2）条件C∪B=B，等价于C⊆B，C是B的子集，即可求解．

解答 解：（1）要使函数f（x）=$\sqrt{lo{g}_{2}（x-1）}$有意义，
则log₂（x-1）≥0，解得x≥2，
∴其定义域为集合A={x|x≥2}．
函数g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x（-1≤x≤0）的值域为集合B={x|1≤x≤2}，
∴A∩B={2}．
（2）∵C∪B=B，∴C⊆B．
由题意2a-1＞a，即a＞1时，要使C⊆B，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{2a-1≤2}\end{array}\right.$，
解得1＜a≤$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查集合的运算与关系，考查函数的定义域与值域，考查学生的计算能力，属于中档题．