Question

18．已知函数f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+a}$为定义在R上的奇函数．
（1）试判断函数的单调性，并用定义加以证明；
（2）若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性得到f（0）=0，求出a的值，根据单调性的定义证明即可；
（2）根据函数的单调性求出f（x）在x∈[-1，1]的值域，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）f（x）是R上的奇函数，故f（0）=0，
故1-$\frac{2}{1+a}$=0，解得：a=1，
故f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
x→+∞时，f（x）→1，
x→-∞时，f（x）→-1，
f（x）在R递增，
证明如下：
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）
=1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$
=$\frac{2{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
∴f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在R递增；
（2）由（1）f（x）在[-1，1]递增，
而f（-1）=$\frac{1}{3}$，f（1）=$\frac{2}{3}$，
故x∈[-1，1]时，f（x）∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]，
若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解，
则m∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查单调性的证明，是一道中档题．