Question

14．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，n∈N^*，a₃=5，S₁₀=100．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2^a_n+a_n•sin²$\frac{nπ}{2}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设出等差数列的首项及公差，解方程组可得{a_n}的通项公式
（2）从${sin^2}\frac{nπ}{2}$的取值发现数列{b_n}需分奇偶讨论，再结合分组求和可得{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=5}\\{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=100}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$，
所以a_n=2n-1．
（2）因为${b_n}={2^{a_n}}+{a_n}•{sin^2}\frac{nπ}{2}={2^{2n-1}}+（2n-1）•{sin^2}\frac{nπ}{2}$
当n为奇数时，${sin^2}\frac{nπ}{2}=1$
当n为偶数时，${sin^2}\frac{nπ}{2}=0$
当n为偶数时，T_n=（2+2³+2⁵+…+2^2n-1）+（1+5+9+…+2n-3）=$\frac{{2（{4^n}-1）}}{4-1}+\frac{{\frac{n}{2}（1+2n-3）}}{2}=\frac{2}{3}•{4^n}+\frac{n^2}{2}-\frac{n}{2}-\frac{2}{3}$
当n为奇数时，T_n=T_n-1+b_n=$\frac{2}{3}•{4^{n-1}}+\frac{{{{（{n-1}）}^2}}}{2}-\frac{{（{n-1}）}}{2}-\frac{2}{3}+{2^{2n-1}}+（2n-1）$=$\frac{2}{3}•{4^n}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}-\frac{2}{3}$
综上：${T_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}•{4^n}+\frac{n^2}{2}-\frac{n}{2}-\frac{2}{3}，n为偶数\\ \frac{2}{3}•{4^n}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}-\frac{2}{3}，n为奇数\end{array}\right.$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．