Question

3．已知数列{a_n}中a₁=1，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$且a_n＞0．
（1）求a_n的表达式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$，求得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，求得{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通项公式，即可{a_n}的通项公式；
（2）b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$，
∵$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=2，$\frac{1}{{a}_{1}}=1$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n-1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{2n-1}$，
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
∴T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]，
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$．
数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查利用数列递推式求等列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．