Question

4．已知在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}$（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程是ρ=4cosθ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=$\sqrt{14}$，求直线l的倾斜角α的值．

Answer 1

分析 （1）根据基本公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可曲线C的直角坐标方程；
（2）将$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$代入圆的方程得（tcosα-1）²+（tsinα）²=4，得出关于t的方程，设A，B两点对应的参数分别为t₁、t₂，利用韦达定理得出t₂t₁，t₁+t₂的值，利用它们之间的转化关系即可求出AB，继而求出α．

解答 解（1）由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ．
∵x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-4x=0，即（x-2）²+y²=4．
（2）将$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$代入圆的方程得（tcosα-1）²+（tsinα）²=4，
化简得t²-2tcosα-3=0．
设A，B两点对应的参数分别为t₁、t₂，则$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=2cosα\\{t_1}{t_2}=-3.\end{array}\right.$，
∴$|{AB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{4{{cos}^2}α+12}=\sqrt{14}$．
∴4cos²α=2，解得$cosα=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
可得直线l的倾斜角$α=\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查直角坐标方程和极坐标方程的互化，注意运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，考查直线参数方程的运用，注意参数t的几何意义，属于中档题．