Question

5．将圆O：x²+y²=4上各点的纵坐标变为原来的一半 （横坐标不变），得到曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点$F（\sqrt{3}，0）$的直线l与曲线C交于A，B两点，N为线段AB的中点，延长线段ON交曲线C于点E．求证：$\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{ON}$的充要条件是|AB|=3．

Answer 1

分析 （I）设点P（x'，y'），点M的坐标为（x，y），由题意可知$\left\{\begin{array}{l}x'=x\\ y'=2y\end{array}\right.$，由此能求出点M的轨迹C的方程．
（II）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），点N的坐标为（x₀，y₀），当直线l与x轴重合时，线段AB的中点N就是原点O，不合题意；设直线l：$x=my+\sqrt{3}$，由$\left\{\begin{array}{l}x=my+\sqrt{3}\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$，得$（{m^2}+4）{y^2}+2\sqrt{3}my-1=0$，由此利用韦达定理、向量相等、直线方程，结合已知条件能证明$\overrightarrow{OE}$=$2\overrightarrow{ON}$的充要条件是|AB|=3．

解答 解：（I）设点P（x'，y'），点M的坐标为（x，y），
由题意可知$\left\{\begin{array}{l}x'=x\\ y'=2y\end{array}\right.$…（2分）
又x'²+y'²=4，∴${x^2}+4{y^2}=4⇒\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
所以点M的轨迹C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（4分）
证明：（II）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），点N的坐标为（x₀，y₀），
（i）当直线l与x轴重合时，线段AB的中点N就是原点O，不合题意，舍去…（5分）（ii）设直线l：$x=my+\sqrt{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+\sqrt{3}\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$消去x，
得$（{m^2}+4）{y^2}+2\sqrt{3}my-1=0$，
∴${y_0}=-\frac{{\sqrt{3}m}}{{{m^2}+4}}$…（6分）
∴${x_0}=m{y_0}+\sqrt{3}=-\frac{{\sqrt{3}{m^2}}}{{{m^2}+4}}+\frac{{\sqrt{3}{m^2}+4\sqrt{3}}}{{{m^2}+4}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{{{m^2}+4}}$
∴点N的坐标为$（\frac{{4\sqrt{3}}}{{{m^2}+4}}，-\frac{{\sqrt{3}m}}{{{m^2}+4}}）$，…（8分）
①若$\overrightarrow{OE}$=$2\overrightarrow{ON}$，则点E的坐标为$（\frac{{8\sqrt{3}}}{{{m^2}+4}}，-\frac{{2\sqrt{3}m}}{{{m^2}+4}}）$，由点E在曲线C上，
得$\frac{48}{{{{（{m^2}+4）}^2}}}+\frac{{12{m^2}}}{{{{（{m^2}+4）}^2}}}=1$，即m⁴-4m²-32=0，∴m²=8（m²=-4舍去）．
由方程①得$|y{\;}_1-{y_2}|=\frac{{\sqrt{12{m^2}+4{m^2}+16}}}{{{m^2}+4}}=\frac{{4\sqrt{{m^2}+1}}}{{{m^2}+4}}=1$，
又|x₁-x₂|=|my₁-my₂|=|m（y₁-y₂）|，
∴$|AB|=\sqrt{{m^2}+1}|{y_1}-{y_2}|=3$…（10分）
②若|AB|=3，由①得$\frac{{4（{m^2}+1）}}{{{m^2}+4}}=3$，∴m²=8．
∴点N的坐标为$（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，±\frac{{\sqrt{6}}}{6}）$，射线ON方程为$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x（x＞0）$
由$\left\{\begin{array}{l}y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x（x＞0）\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\\ y=±\frac{{\sqrt{6}}}{3}\end{array}\right.$∴点E的坐标为$（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，±\frac{{\sqrt{6}}}{3}）$，
∴$\overrightarrow{OE}$=$2\overrightarrow{ON}$．
综上，$\overrightarrow{OE}$=$2\overrightarrow{ON}$的充要条件是|AB|=3…（12分）

点评 本题考查曲线方程的求法，考查充要条件的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量相等、直线方程等知识点和等价转化思想的合理运用．