Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+x-1（x＜0）}\\{-\frac{1}{3}{x}^{3}+2x（x≥0）}\end{array}\right.$有下列说法：
①f（x）在[2，+∞）上是减函数；
②f（x）的最大值是2；
③方程f（x）=0有2个实数根；
④f（x）≤$\frac{4\sqrt{2}}{3}$在R上恒成立，
正确的说法是①③④．（写出所有正确说法的序号）．

Answer 1

分析 求导数，可得函数的单调性，最大值，即可得出结论．

解答 解：当x＜0时，f'（x）=e^x+1＞0故函数在（-∞，0）上单调递增；
当x≥0时，f'（x）=2-x²，故函数在（0，$\sqrt{2}$）上单调递增，在[$\sqrt{2}$，+∞）上是减函数，故①正确；
∴当x=$\sqrt{2}$时函数f（x）的最大值是f（$\sqrt{2}$）=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$则f（x）≤$\frac{4\sqrt{2}}{3}$在R上恒成立，故④正确，②错误；
当x＜0时，f（x）单调递增，∴f（x）＜f（0），
而f（0）=0，当x→+∞时，f（x）→-∞，故方程f（x）=0有2个实数根，故③正确
故答案为：①③④．

点评 分段函数求解问题，一般分段求解，体现了分类讨论的数学思想；在探讨函数单调性时，体现了导数的工具性，也培养了应用知识分析、解决问题的能力，是好题，属中档题．