Question

1．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若△AOB的面积为4，求|AB|

Answer 1

分析 （1）设出抛物线的方程，求出p的值，从而求出抛物线的标准方程即可；
（2）通过讨论直线l的斜率，求出|AB|的表达式，求出k的值，从而求出|AB|即可．

解答 解：（1）依题意可设：抛物线C的标准方程为y²=2px（p＞0），
由其焦点为F（1，0）易得：2p=4，得：p=2，
故所求抛物线C的标准方程为y²=4x；
（2）①当直线l斜率不存在即与x轴垂直时，易知：|AB|=4，
此时△AOB的面积为S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OF|•|AB|=$\frac{1}{2}$×1×4=2，
不符合题意，故舍去．
②当直线l斜率存在时，可设其为k（k≠0），则此时直线l的方程为y=k（x-1），
将其与抛物线C的方程：y²=4x联立化简整理可得：
k²x²-2（k²+2）x+k²=0，（k≠0），
设A、B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂） 由韦达定理可得：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}=\frac{2{（k}^{2}+2）}{{k}^{2}}=2+\frac{4}{{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=1}\end{array}\right.$，
由弦长公式可得：|AB|=x₁+x₂+p=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$+2=$\frac{4}{{k}^{2}}$+4，
由点到直线的距离公式可得：坐标原点O到直线l的距离为d=$\frac{|k|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，
故△AOB的面积为S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|d=2（$\frac{1}{|k|}$+|k|）$\frac{1}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{1{+k}^{2}}}{|k|}$=4，
${{S}_{△AOB}}^{2}$=$\frac{4（1{+k}^{2}）}{{k}^{2}}$=16，解得：k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，k²=$\frac{1}{3}$，
又|AB|=$\frac{4}{{k}^{2}}$+4=12+4=16，
因此，当△AOB的面积为4时，所求弦AB的长为16．

点评 本题考查了求抛物线的标准方程，考查点到直线的距离公式以及弦长公式，是一道综合题．