Question

17．已知函数$f（x）=alnx-\frac{1}{2}{x^2}+x$，$g（x）=\frac{1}{2}{x^2}-2x+1$．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）在x∈[1，e²]时的最值（参考数据：e²≈7.4）；
（Ⅱ）若?x∈（0，+∞），有f（x）+g（x）≤0恒成立，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=2时，求出$f'（x）=\frac{2}{x}-x+1=\frac{-（x-2）（x+1）}{x}$，x＞0，由此利用导数性质能求出f（x）在x∈[1，e²]时的最值．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x）=alnx-x+1，则$h'（x）=\frac{a}{x}-1=\frac{a-x}{x}$，当a≤0时，不满足条件；当a＞0时，h（x）_max=h（a）=alna-a+1≤0，令g（a）=alna-a+1，（a＞0），则g'（a）=lna，g（a）_min=g（1）=0，由此能求出a．

解答 解：（Ⅰ）∵当a=2时，$f（x）=2lnx-\frac{1}{2}{x^2}+x$，
∴$f'（x）=\frac{2}{x}-x+1=\frac{-（x-2）（x+1）}{x}$，x＞0，
当1＜x＜2时，f′（x）＞0，得-1＜x＜2，当2＜x＜e²时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在[1，2]为增函数，在[2，e²]为减函数．
∴f（x）_max=f（2）=2ln2．
$f{（x）_{min}}=min\{f（1），f（{e^2}）\}=min\{\frac{1}{2}，4+{e^2}-\frac{1}{2}{e^4}\}=4+{e^2}-\frac{1}{2}{e^4}$．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x）=alnx-x+1，则$h'（x）=\frac{a}{x}-1=\frac{a-x}{x}$，
（1）当a≤0时，h（x）在（0，+∞）上为减函数，而h（1）=0，
∴h（x）≤0在区间x∈（0，+∞）上不可能恒成立，因此a≤0不满足条件．
（2）当a＞0时，h（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）上递减，
∴h（x）_max=h（a）=alna-a+1．
∵h（x）≤0在x∈（0，+∞）恒成立，∴h（x）_max≤0．即alna-a+1≤0．
令g（a）=alna-a+1，（a＞0），则g'（a）=lna，
∴g（a）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
∴g（a）_min=g（1）=0，故a=1．

点评 本题考查函数在闭区间上的最值的求法，考查满足条件的实数值的求法，考查导数性质、构造法、函数的单调区间、极值、最值等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．