Question

已知函数f（x）=a^|x|（0＜a＜1）
（1）若|m|＜2，使得函数h（x）=f（x）-m有2个不同零点的概率是

 

；
（2）若方程[f（x）]²+b[f（x）]+c=0有3个不同的根，则b的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：指数型复合函数的性质及应用,函数零点的判定定理

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用,不等式的解法及应用,概率与统计

分析：（1）函数h（x）=f（x）-m有2个不同零点，即为f（x）=m有2个不相等的实根，作出y=f（x）和直线y=m，由图象可得0＜m＜1，有2个交点，再由几何概率的定义，即可求得所求值；
（2）若方程[f（x）]²+b[f（x）]+c=0有3个不同的根，则必有f（x）=1和0＜f（x）=t＜1，结合韦达定理和图象即可得到b的取值范围．

解答： 解：（1）函数h（x）=f（x）-m有2个不同零点，
即为f（x）=m有2个不相等的实根，
作出y=f（x）和直线y=m，由图象可得当0＜m＜1时，有2个交点，
由于所求概率为几何概型，区域D：区间（-2，2），
区域d：区间（0，1），测度为长度，
则所求概率为

1-0

2-(-2)

=

1

4

；
（2）若方程[f（x）]²+b[f（x）]+c=0有3个不同的根，
则必有f（x）=1和0＜f（x）=t＜1，
即有1+b+c=0，b²-4c＞0，t=c，1+t=-b，
解得-2＜b＜-1．
则b的取值范围是（-2，-1）．
故答案为：

1

4

，（-2，-1）．

点评：本题考查指数函数的图象和性质，主要考查直线与指数函数的图象的关系，考查几何概率的求法和函数的零点的判断，属于中档题．