Question

10．已知关于x的不等式|x-a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）设实数x，y，z 满足$\frac{（x-b）^{2}}{16}$+$\frac{（y+a-b）^{2}}{5}$+$\frac{（z-a）^{2}}{4}$=1，求x，y，z的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由|x-a|＜b解得{x|a-b＜x＜a+b}，结合不等式|x-a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}，可得a-b=2且a+b=4，由此求得a、b的值．
（Ⅱ）由条件利用柯西不等式求得x，y，z的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）由|x-a|＜b解得{x|a-b＜x＜a+b}，结合不等式|x-a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}，
可得a-b=2且a+b=4，解得a=3，b=1．
（Ⅱ）依题意有 $\frac{{（x-1）}^{2}}{16}$+$\frac{{（y+2）}^{2}}{5}$+$\frac{{（z-3）}^{2}}{4}$=1，由柯西不等式知
[4²+${（\sqrt{5}）}^{2}$+2²]•[$\frac{{（x-1）}^{2}}{16}$+$\frac{{（y+2）}^{2}}{5}$+$\frac{{（z-3）}^{2}}{4}$]≥${[4•\frac{x-1}{4}+\sqrt{5}•\frac{y+2}{\sqrt{5}}+2•\frac{z-3}{2}]}^{2}$，
即25×1≥（x+y+z-2）²，解得-3≤x+y+z≤7，
当且仅当x=$\frac{21}{5}$，y=-1，z=$\frac{19}{5}$时，x+y+z=7；
当且仅当x=-$\frac{11}{5}$，y=-3，z=$\frac{11}{5}$时，x+y+z=-3；
所以，x+y+z的最大值为7，最小值为-3．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，属于中档题．