Question

15．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（　　）

• A． 16π
• B． 12π
• C． 8π
• D． 25π

Answer 1

分析 几何体是一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁，该三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC，侧棱长是2，求出球的半径，可得这个球的表面积．

解答 解：由三视图知，几何体是一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁，该三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC，侧棱长是2，
三棱柱的两个底面的中心连接的线段MN的中点O与三棱柱的顶点A的连线AO就是外接球的半径，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，MN=2，∴AM=$\frac{2}{3}$•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$•3）=$\sqrt{3}$，OM=1，
∴这个球的半径r=$\sqrt{3+1}=2$，∴这个球的表面积S=4π×2²=16π，
故选：A．

点评 本题主要考查三视图，空间结合体的结构，球的表面积，属于中档题．