Question

18．过点M（2，2）的直线与抛物线L：x²=2py相交于不同两点A，B，若点M恰为线段AB的中点，则实数p的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （$\frac{1}{2}$，1）
• C． （1，+∞）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于x₁²=2py₁，x₂²=2py₂可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=2p（y₁-y₂）．再利用斜率计算公式与中点坐标公式即可得出pk=2，即可得出结论．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵x₁²=2py₁，x₂²=2py₂，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）=2p（y₁-y₂）．
又x₁+x₂=2×2，
∴4=2pk，
∴pk=2
又直线方程为y-2=k（x-2），代入x²=2py，可得x²-2pkx+4pk-4p=0，
∴△=4p²k²-16pk+16p＞0，
∴16-32+16p＞0
∴p＞1，
故选：C．

点评 本题考查了“点差法”、斜率计算公式与中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．