Question

4．已知函数f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），若实数a，b满足f（a+2）+f（b）=0，则a+b等于．

Answer 1

分析 推导出f（x）为奇函数，且单调递增，从侧由实数a，b满足f（a+2）+f（b）=0，得f（a+2）=-f（b）=f（-b），由此能求出结果．

解答 解：∵函数f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），
∴函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，
又f（-x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-1=-ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+$x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
观察知函数f（x）单调递增，
∵实数a，b满足f（a+2）+f（b）=0，
∴f（a+2）=-f（b）=f（-b），∴a+2=-b，
∴a+b=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查代数式求和，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的奇偶性和单调性的合理运用．