Question

如图，平面平面，四边形为矩形，．为的中点，.（1）求证：；（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）本小题证明的是线线垂直，把问题转化为证明线面垂直（线面垂直线线垂直），即证平面，从而有；（2）本小题可从传统几何方法及空间向量方法入手，法一：先证，为等边三角形，取的中点，连结，，可证得为二面角的平面角，在三角形FMP中用余弦定理的推论完成求值；法二：利用空间向量解决面面角问题，只需找到这两个面的法向量，利用公式完成计算即可，但要注意本题面面角为钝二面角.

试题解析：（1）证明：连结，因，是的中点，故．又因平面平面，故平面，于是．又，所以平面，所以，又因，故平面，所以．

（2）解法一：由（1），得．不妨设，．因为直线与平面所成的角，故，所以，为等边三角形．设，则，分别为，的中点，也是等边三角形．取的中点，连结，，则，，所以为二面角的平面角．在中，，，故，即二面角的余弦值为．

解法二：取的中点，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．不妨设，，则，，，，从而，.

设平面的法向量为，由，得，可取．同理，可取平面的一个法向量为 ．于是，易见二面角的平面角与互补，所以二面角的余弦值为．

考点：证明线线垂直问题（线面垂直线线垂直），求二面角的余弦值（可用寻找其二面角的平面角，也可用空间向量知识完成）.