题目内容
2．已知f（x）是一个定义在（0，+∞）上的函数，当x＞1时，f（x）＞0，且对于（0，+∞）上的任意两个实数a、b，有f（a）+f（b）=f（ab）．（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
分析 （1）令a=b=1得f（1）=2f（1），f（1）=0．
（2）（2）设x1＞x2＞0，f（x1）-f（x2）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0可证．
解答 解：（1）令a=b=1得f（1）=2f（1），∴f（1）=0．，∴f（1）=0．
（2）设x1＞x2＞0，则f（x1）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}•{x}_{2}$）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x2）
∴f（x1）-f（x2）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$），∵x1＞x2＞0，∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞1$⇒f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0
即f（x1）-f（x2）＞0．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
点评 本题考查了抽象函数单调性的判定及赋值法，属于基础题．，属于中档题
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12．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
| A． | f（x）=2x+1与g（x）=$\frac{2{x}^{2}+x}{x}$ | B． | y=x-1与y=$\frac{{x}^{2}-1}{x+1}$ | ||
| C． | y=$\frac{{x}^{2}-9}{x-3}$与y=x+3 | D． | f（x）=1与g（x）=1 |
17．二次函数y=f（x）满足f（2-x）=f（2+x），f（1）＞f（0），若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（ ）
| A． | a≥0 | B． | a≤0 | C． | 0≤a≤4 | D． | a≤0或a≥4 |