Question

3．设函数$f（x）=\frac{x^2}{2}-klnx$．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在$（1，\sqrt{e}]$存在零点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求f（x）的定义域，函数的导数，通过k的范围讨论，导函数的符号，求解函数的单调区间；
（Ⅱ）借助（Ⅰ），利用函数的单调性以及最小值的符号，判断f（x）在$（1，\sqrt{e}]$存在零点的条件，列出不等式求k的取值范围．

解答 解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞）…1分
${f^'}（x）=x-\frac{k}{x}=\frac{{{x^2}-k}}{x}$．…2分
（1）k≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增…3分
（2）k＞0时，由f′（x）=0解得$x=\sqrt{k}$．f（x）与f′（x）在区间f（0）＜1上的情况如下：

x	（0，$\sqrt{k}$）	$\sqrt{k}$	（$\sqrt{k}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	$\frac{k（1-lnk）}{2}$	↑

所以，f（x）的单调递减区间是$（0，\sqrt{k}）$，单调递增区间是$（\sqrt{k}，+∞）$；…5分
综上所述，k≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
k＞0时，f（x）的单调递减区间是$（0，\sqrt{k}）$，单调递增区间是$（\sqrt{k}，+∞）$…6分
（Ⅱ）（1）k≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增且$f（1）=\frac{1}{2}＞0$，
f（x）在$（1，\sqrt{e}]$没有零点…7分
（2）k＞0时，由（Ⅰ）知，f（x）在区间f（0）＜1上的最小值为$f（\sqrt{k}）=\frac{k（1-lnk）}{2}$．
因为f（x）存在零点，所以$\frac{k（1-lnk）}{2}≤0$，从而k≥e．…9分
当k=e时，f（x）在区间$（1，\sqrt{e}）$上单调递减，且$f（\sqrt{e}）=0$，f（x）在$（1，\sqrt{e}]$存在零点；…10分
当k＞e时，f（x）在区间$（1，\sqrt{e}）$上单调递减，且$f（1）=\frac{1}{2}＞0$，$f（\sqrt{e}）=\frac{e-k}{2}＜0$，
所以f（x）在区间$（1，\sqrt{e}]$存在零点…12分
综上所述，k≥e．…13分

点评 本题考查函导数的综合应用．函数的单调性以及函数的最值，函数的零点，考查转化思想以及计算能力．